ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Iteriertes Funktionensystem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Iteriertes Funktionensystem</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein iteriertes Funktionensystem (IFS) ist eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.927ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}}" loading="lazy"> von <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a>, die denselben Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> als Definitions- und Wertebereich haben und unter Verknüpfung abgeschlossen sind. Also

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}\;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71c8dc0e2b63132e7c89307d685b489449153f4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.718ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}\circ {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}\;}" loading="lazy"> d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\forall f,g\in {\mathcal {F}}:\;f\circ g\in {\mathcal {F}}.}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\forall f,g\in {\mathcal {F}}:\;f\circ g\in {\mathcal {F}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fb9b6e1bde2fcf1d3752936de09c173fef79fc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.719ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \;\forall f,g\in {\mathcal {F}}:\;f\circ g\in {\mathcal {F}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Iterierte Funktionensysteme dienen meist der Konstruktion von <a href="Fraktal" title="Fraktal">Fraktalen</a>, die dann auch als IFS-Fraktale bezeichnet werden. Bekannte Vertreter dieser Klasse von Fraktalen sind das <a href="Sierpinski-Dreieck" title="Sierpinski-Dreieck">Sierpinski-Dreieck</a> und die <a href="Koch-Kurve" title="Koch-Kurve">Koch-Kurve</a> wie auch die Grenzmengen von <a href="Lindenmayer-System" title="Lindenmayer-System">Lindenmayer-Systemen</a>.

<div class="gallerytext"><a href="Sierpinski-Dreieck" title="Sierpinski-Dreieck">Sierpinski-Dreieck</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Koch-Kurve" title="Koch-Kurve">Koch-Kurve</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Sierpinski-Teppich" title="Sierpinski-Teppich">Sierpinski-Teppich</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Drachenkurve" title="Drachenkurve">Drachen-Fraktal</a></div>

</li>

</ul>

Diese Art der Fraktalkonstruktion wurde 1981 von John Hutchinson erfunden<a href="#cite_note-hutchinson1981-1">[1]</a> und später von Michael F. Barnsley mit seinem Buch Fractals Everywhere<a href="#cite_note-barnsley1988-2">[2]</a> popularisiert.<a href="#cite_note-peruggia1993-3">[3]</a> Dort gab Barnsley auch den Collage-Satz an, welcher die Grundlage der <a href="Fraktale_Bildkompression" title="Fraktale Bildkompression">fraktalen Bildkompression</a> bildet. Diese Art, Bilder effizient mittels Datenstrukturen zu kodieren, hat sich jedoch nie richtig durchsetzen können und wird heute im Wesentlichen nur noch als Hybridverfahren in Kombination mit einer <a href="Wavelet-Transformation" title="Wavelet-Transformation">Wavelet-Transformation</a> untersucht.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Invariante,_selbstähnliche_Mengen">Invariante, selbstähnliche Mengen</h2></div>

Um für ein IFS Eigenschaften ableiten zu können, muss die Funktionenmenge zusätzliche Voraussetzungen erfüllen. Üblicherweise, wenn von IFS gesprochen wird, werden diese Voraussetzungen stillschweigend als gegeben angenommen. Diese Voraussetzungen sind

<ol><li>dass das IFS endlich erzeugt ist, also endlich viele Funktionen enthält, aus welchen die anderen durch wiederholte (iterierte) Verknüpfung zusammengesetzt werden können,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ein <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständiger</a> <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischer Raum</a> mit Metrik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> ist, und</li>

<li>dass jede Funktion des IFS <a href="Kontraktion_(Mathematik)" title="Kontraktion (Mathematik)">kontraktiv</a> bezüglich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> ist. Mit Voraussetzung 1. reicht es, dies von den Erzeugenden zu verlangen.</li></ol>

Unter diesen Umständen gibt es eine invariante, <a href="Selbst%C3%A4hnlichkeit" title="Selbstähnlichkeit">selbstähnliche</a> Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\subseteq M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\subseteq M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a8f625b2e9c810c24a95f54c8903345ba545235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.521ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle X\subseteq M}" loading="lazy">.

<ul><li>Die Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist invariant, wenn sie von jeder Funktion des IFS wieder in sich abgebildet wird.</li>

<li>Die Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist selbstähnlich, wenn jeder Punkt aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> in der Bildmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(X)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00816772e8dff4e6733c478ec77fab0382264a93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(X)}" loading="lazy"> einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f63bed964e89bbd2f00f55a26858febaa674872.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.508ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}" loading="lazy"> liegt.</li></ul>

Selbstähnliche Mengen haben meist keine ganzzahlige <a href="Hausdorff-Dimension" title="Hausdorff-Dimension">Hausdorff-Dimension</a> und werden dann auch als Fraktal bezeichnet, deshalb die Bezeichnung IFS-Fraktal. Man könnte auch weitergehend den Begriff der Selbstähnlichkeit durch die Forderung der Existenz eines IFS definieren.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Existenz_und_Eindeutigkeit_der_invarianten_Menge">Existenz und Eindeutigkeit der invarianten Menge</h2></div>

<a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematisch</a> gesehen handelt es sich bei der Theorie der iterierten Funktionensysteme, wie auch die Begrifflichkeit vermuten lässt, um eine direkte Anwendung des

<a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">banachschen Fixpunktsatzes</a>, wobei mehrere Funktionen statt einer betrachtet werden und, statt eines eindeutigen Fixpunktes, sich eine invariante, meist fraktale, Teilmenge des Raumes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ergibt. Zur Illustration wird meist das zweidimensionale Einheitsquadrat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=[0,1]\times [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=[0,1]\times [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ca20e292d0eec54bf2cbd78eec9714f93c82398.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.686ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M=[0,1]\times [0,1]}" loading="lazy"> mit dem euklidischen Abstand gewählt.

Wir beginnen also mit einer endlichen Menge von Funktionen eines <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakten</a> <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischen Raumes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (M,d)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (M,d)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d78e6f2ddf5baee227ee2a9f164726ba0c23c263.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.501ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (M,d)}" loading="lazy"> in sich selbst:

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}:=\{\phi _{1},\dots ,\phi _{r}\colon M\to M\},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/316efb5bffb084598e7f9ec8fb32c721c22faa69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}:=\{\phi _{1},\dots ,\phi _{r}\colon M\to M\},}" loading="lazy"></dd></dl>

von denen wir voraussetzen, dass es eine Kontraktionskonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<c<1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<c<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c2ef66b35dc03fb20aa2da7cf53cdaaaac18ad0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.529ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<c<1}" loading="lazy"> gibt mit

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x,y\in M,\phi \in {\mathcal {F}}_{1}:\;d(\phi (x),\phi (y))\leq c\,d(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34c8670dafd2a028414398411e5a85d5177b94c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.633ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x,y\in M,\phi \in {\mathcal {F}}_{1}:\;d(\phi (x),\phi (y))\leq c\,d(x,y)}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch <a href="Iteration" title="Iteration">Iteration</a> setzen wir <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d392bc6fb93f473201227731129df52c55d996e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.725ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}" loading="lazy"> zu einem IFS <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.927ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}}" loading="lazy"> fort, es sei

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}:={\mathcal {F}}_{1}\circ {\mathcal {F}}_{n}:=\{\phi \circ F:\;\phi \in {\mathcal {F}}_{1},\;F\in {\mathcal {F}}_{n}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8cd180b7a457c81a51720a5354fcda1cb4fd001.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1}:={\mathcal {F}}_{1}\circ {\mathcal {F}}_{n}:=\{\phi \circ F:\;\phi \in {\mathcal {F}}_{1},\;F\in {\mathcal {F}}_{n}\}}" loading="lazy"></dd></dl>

und erhalten schließlich

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e32862d7b6ee69e3c15511e88c2a0d6724cfd87b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.035ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Satz: Sind alle Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{r}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05ce2e827fed97f0e5c6c56bca61e1fe064b8891.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.977ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{r}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d392bc6fb93f473201227731129df52c55d996e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.725ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}" loading="lazy"> <a href="Kontraktion_(Mathematik)" title="Kontraktion (Mathematik)">kontraktiv</a>, so gibt es eine invariante Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, welche die Fixpunktgleichung

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65a7aed4a2de27bfc6659112b2e08898e887ce3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.108ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(X)}" loading="lazy"></dd></dl>

erfüllt. Für diese gilt:

<ul><li>Zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f63bed964e89bbd2f00f55a26858febaa674872.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.508ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}" loading="lazy"> gibt es genau einen Fixpunkt. Die invariante Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> ist der topologische Abschluss der Menge aller Fixpunkte</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x\in M|\;\exists F\in {\mathcal {F}}:\,x=F(x)\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76e5996fbc309a7654b28e895fe6aaaf26dd6ff5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.662ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x\in M|\;\exists F\in {\mathcal {F}}:\,x=F(x)\}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a791cf1205a293bb7b42ae3618fbc376acd4b52a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.438ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in M}" loading="lazy"> ein beliebiger Punkt, so gilt für den Abstand dieses Punktes</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(X,F(y))\leq c_{F}\,d(X,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9aa7cd4731bb6f47a882fdc73fad2f62335bdba0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(X,F(y))\leq c_{F}\,d(X,y)}" loading="lazy"> für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f63bed964e89bbd2f00f55a26858febaa674872.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.508ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd>

<dd>Es gilt die Abschätzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{F}\leq c^{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{F}\leq c^{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a160b829a404a7018a9f1df8477545172e551b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.25ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c_{F}\leq c^{m}}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">-fache Verkettung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{m}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545e9de684fa5404e6825d57934f393e363e31e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.928ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{m}}" loading="lazy"> der Ausgangsfunktionen ist.</dd></dl>

<ul><li>Damit kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> durch Iteration einer beschränkten Ausgangsmenge</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{0}\subset M,\quad X_{n+1}=\bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(X_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cf7052f5a4d2e99e0163ae307744e8eefb0516a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:30.41ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle X_{0}\subset M,\quad X_{n+1}=\bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(X_{n})}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>beliebig gut angenähert werden.</dd></dl>

</div>

Der Beweis des Satzes erfolgt dadurch, dass man aus dem metrischen Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (M,d)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (M,d)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d78e6f2ddf5baee227ee2a9f164726ba0c23c263.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.501ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (M,d)}" loading="lazy"> einen neuen Raum konstruiert, dessen „Punkte“ genau die <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakten</a> Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> sind. Hierauf kann man eine Metrik definieren (die <a href="Hausdorff-Metrik" title="Hausdorff-Metrik">Hausdorff-Metrik</a>), bezüglich der dieser Raum vollständig und die Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\mapsto \bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(X)}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\mapsto \bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(X)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66a3c58f0ef39c5b3a04ac34fbf4ae9f329c58ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.624ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle X\mapsto \bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(X)}" loading="lazy"> eine Kontraktion ist. Dadurch wird der banachsche Fixpunktsatz anwendbar.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Approximation_der_Grenzmenge">Approximation der Grenzmenge</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Chaosspiel">Chaosspiel</h3></div>

Die Gestalt der fraktalen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> kann durch ein so genanntes Chaosspiel visualisiert werden. Dabei wird zunächst

ein Fixpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db2dc6ced9cc3bc7e8b9f2707cbec033f6d3759c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}=\phi _{1}({\vec {x}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}=\phi _{1}({\vec {x}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/567017b3e861e06d0ad1237a1dd7cd4db518994d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.007ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}=\phi _{1}({\vec {x}})}" loading="lazy">

aufgesucht und auf diesen in zufälliger Reihenfolge die definierenden Funktionen angewandt. Als <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmus</a> kann dies wie folgt aussehen:

<ul><li>Weise 100 mal hintereinander <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}:=\phi _{1}({\vec {x}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}:=\phi _{1}({\vec {x}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a9c887d942ff25b3e64924352e5771117484aa5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.654ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}:=\phi _{1}({\vec {x}})}" loading="lazy"> zu</li>

<li>Wiederhole beliebig oft

<ul><li>Wähle zufällig ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \left\{1,\dots ,r\right\}}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \left\{1,\dots ,r\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b643dc99c7d04b93c332c76453dc67b6e0383b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.357ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \left\{1,\dots ,r\right\}}" loading="lazy"></li>

<li>Weise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}:=\phi _{i}({\vec {x}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}:=\phi _{i}({\vec {x}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c83561c30536cf1f20c47d85a15053d49418f7e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.399ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}:=\phi _{i}({\vec {x}})}" loading="lazy"> zu</li>

<li>Zeichne den Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">.</li></ul></li></ul>

Anmerkung:

<ol><li>Es ist in den ersten, blinden, <a href="Iteration" title="Iteration">Iterationen</a> unwesentlich, welche Funktion gewählt wird, da in jedem Schritt der Abstand zur fraktalen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> reduziert wird. Ist z. B. die Kontraktionskonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=0{,}5}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a9bc72a01ffb4a50b095487b61db8e57a718fc5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.077ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle c=0{,}5}" loading="lazy"> und die Grundmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> das <a href="Einheitsquadrat" title="Einheitsquadrat">Einheitsquadrat</a>, welches mit 1024×1024 <a href="Pixel" title="Pixel">Pixeln</a> dargestellt wird, so ist bereits nach 12 blinden Iterationen der Fehler unter die Pixelgröße gesunken.</li>

<li>Es werden im Allgemeinen bessere Darstellungen erzielt, wenn die Wahrscheinlichkeit des Aufrufs jeder der Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0182dbf29b54844c92fd9b0311778a02a38398ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.185ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{i}}" loading="lazy"> in etwa proportional zum Volumen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{i}(M)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{i}(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d44f10ac24f1e6a1c307d52e933e3e0dd2734117.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.437ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{i}(M)}" loading="lazy"> ist.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rekursion">Rekursion</h3></div>

Eine weitere Möglichkeit der Darstellung, vorzugsweise für die affinen Fraktale, ist die rekursive Approximation der Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">. Dies wird meist anschaulich mittels eines Fotokopierers

erklärt: Man macht verschiedene Verkleinerungen eines Ausgangsbildes, fixiert diese nach Vorschrift

auf einem neuen Blatt und benutzt dieses dann als Ausgangsbild des nächsten Schrittes.

Auch die Turtle-Grafik, die zur Konstruktion der <a href="Fraktal" title="Fraktal">L-Systeme</a>

verwendet wird, folgt einer ähnlichen Idee.

Als Algorithmus braucht man dazu eine rekursiv aufrufbare Funktion, welche die Zuordnung

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(n)=\bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(F(n-1))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/796ff0354dc38c43f717e16430d1303b0e736a43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.04ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle F(n)=\bigcup _{i=1}^{r}\phi _{i}(F(n-1))}" loading="lazy"> bei einer beliebigen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3343a65f4ed144c44091f68116e52bd21f6c4c87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.713ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(0)}" loading="lazy">

realisiert. Die Implementierung benötigt einen Stackspeicher, in welchem das jeweils aktuelle Koordinatensystem als affine

Koordinatentransformationen festgehalten wird. Damit ergibt sich als Algorithmus

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Figur(n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b62bec8d63ed627c95a557ad21c2d1a452b761fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.242ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Figur(n)}" loading="lazy">:

<ul><li>Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=0}" loading="lazy">

<ul><li>zeichne die Basisfigur (z. B. eine Strecke, einen Buchstaben, ein schwarzes Rechteck)</li></ul></li>

<li>sonst:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i:=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ef78c43a22142d0000c115ed37756d64aa11e23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.71ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i:=1}" loading="lazy"> bis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">

<ul><li>Lege aktuelles Koordinatensystem auf Stack ab</li>

<li>Transformiere das aktuelle Koordinatensystem entsprechend <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0182dbf29b54844c92fd9b0311778a02a38398ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.185ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{i}}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Figur(n-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d1f1adf958b8deac07de18c02c0827e2b3b79cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.244ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Figur(n-1)}" loading="lazy"> auf</li>

<li>Stelle Koordinatensystem vom Stack wieder her</li></ul></li></ul></li></ul>

Fraktal:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Figur(10)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89a140df3ed07092e1cada443cf650afccae0ce8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.172ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Figur(10)}" loading="lazy"> auf (10 als Beispiel)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_für_iterierte_Funktionensysteme">Beispiele für iterierte Funktionensysteme</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Affine_Abbildungen">Affine Abbildungen</h3></div>

Die erzeugenden Funktionen des IFS seien <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine Abbildungen</a> des zweidimensionalen

Einheitsquadrates in sich selbst. Jede Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e05cbe22ddd99c09d5b962f52b05ebf25833389f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{k}}" loading="lazy"> ist gegeben durch eine 2×2-<a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72095229db907e86eb4343cb4736429fcc56507d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.832ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{k}}" loading="lazy"> und einen Verschiebungs<a href="Vektor" title="Vektor">vektor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ca33a19a52bbe58090767bcfb0aae551c925dcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.086ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{k}}" loading="lazy">.

Das <a href="Koch-Kurve" title="Koch-Kurve">Koch-Fraktal</a> wird z. B. von folgendem System von 2 Funktionen erzeugt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

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<mtd>

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</mtd>

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</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1}{\binom {x}{y}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}\cos 30^{\circ }&\sin 30^{\circ }\\\sin 30^{\circ }&-\cos 30^{\circ }\end{pmatrix}}\,{\binom {x}{y}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15dea6c399798fd800a2a6f9b2fb553c1adf756f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:41.807ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1}{\binom {x}{y}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}\cos 30^{\circ }&\sin 30^{\circ }\\\sin 30^{\circ }&-\cos 30^{\circ }\end{pmatrix}}\,{\binom {x}{y}}}" loading="lazy">,</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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</msqrt>

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</mtd>

</mtr>

</mtable>

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</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{2}{\binom {x}{y}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}-\cos 30^{\circ }&\sin 30^{\circ }\\\sin 30^{\circ }&\cos 30^{\circ }\end{pmatrix}}{\binom {x}{y}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\binom {\cos 30^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0a6fa8377251e2f2fe6853a21b79c40b5efae93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:60.301ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{2}{\binom {x}{y}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}-\cos 30^{\circ }&\sin 30^{\circ }\\\sin 30^{\circ }&\cos 30^{\circ }\end{pmatrix}}{\binom {x}{y}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\binom {\cos 30^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}}}" loading="lazy"></li></ul>

Die klassische Methode zur Erzeugung der Koch-Kurve benutzt 4 Funktionen

<msub>

</mrow>

</msub>

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<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{3}},{\frac {y}{3}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43557e0c37df617508de059c6a00387ace14ac4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.84ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{3}},{\frac {y}{3}}\right)}" loading="lazy"></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</msqrt>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{2}(x,y)=\left({\frac {2+x-{\sqrt {3}}y}{6}},{\frac {{\sqrt {3}}x+y}{6}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/526fec25bdc40b18f91af31fcbb1e8588f816fd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:38.105ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{2}(x,y)=\left({\frac {2+x-{\sqrt {3}}y}{6}},{\frac {{\sqrt {3}}x+y}{6}}\right)}" loading="lazy"></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{3}(x,y)=\left({\frac {3+x+{\sqrt {3}}y}{6}},{\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}x+y}{6}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b05d88fba86a6fbb4a048315977bca80e962f8f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44.043ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{3}(x,y)=\left({\frac {3+x+{\sqrt {3}}y}{6}},{\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}x+y}{6}}\right)}" loading="lazy"></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{4}(x,y)=\left({\frac {2+x}{3}},{\frac {y}{3}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd8ea5d7302097ff3c42916990f18b5579644cff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:23.489ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \phi _{4}(x,y)=\left({\frac {2+x}{3}},{\frac {y}{3}}\right)}" loading="lazy"></li></ul>

Das rechtwinklige Sierpinski-Dreieck wird erzeugt von

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{2}},{\frac {y}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5585e18261d5089c0aa51207326c248d64a069e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.84ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{2}},{\frac {y}{2}}\right)}" loading="lazy"></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{2}(x,y)=\left({\frac {x+1}{2}},{\frac {y}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ceac736bab0cdcc12014e224e1420cc1bc458da4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:23.489ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \phi _{2}(x,y)=\left({\frac {x+1}{2}},{\frac {y}{2}}\right)}" loading="lazy"></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{3}(x,y)=\left({\frac {x}{2}},{\frac {y+1}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba1092528e37833656b8f19447c39de85a367ecf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:23.482ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \phi _{3}(x,y)=\left({\frac {x}{2}},{\frac {y+1}{2}}\right)}" loading="lazy"></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Collagen">Collagen</h2></div>

Grundlage für die Begeisterung für solche IFS-Fraktale war das Collage-<a href="Theorem" title="Theorem">Theorem</a> von Barnsley. Es besagt, dass jede kompakte Menge – jede Gestalt – durch ein IFS-Fraktal beliebig genau angenähert werden kann. Die Grundlage dafür sind folgende Beobachtungen:

1. Jede endliche Menge ist ein IFS–Fraktal. Die zugehörigen Funktionen sind diejenigen konstanten Funktionen, welche den gesamten Raum auf jeweils einen der endlich vielen Punkte abbilden.

2. Jede kompakte Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> hat für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Netz, wird also durch endlich viele Kugeln vom Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> überdeckt.

<dl><dd>⇒ Das IFS-Fraktal der Kugelmittelpunkte enthält die Ausgangsmenge in einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Umgebung</dd></dl>

</div>

Anschaulicher: Haben wir in einem 100×100-Pixelbild eine Figur von 500 schwarzen Pixelpunkten, so können wir das Bild um den Faktor 100 auf die Größe eines Pixels verkleinern und mit diesem einen schwarzen Punkt dann wieder die Figur malen, indem wir ihn auf jeden der zugehörigen 500 Pixel abbilden. Diese Vorgehensweise ist bei weitem nicht optimal, hier wäre das einfache Speichern der Positionen der 500 Pixel einfacher. Aber wenn wir für den gleichen Zweck mit nur fünf Abbildungen auskämen, wäre eine Datenreduktion erzielt.

Wir sind auch nicht auf einfache Schwarzweißbilder eingeschränkt. Bei einem Graustufenbild kann der Grad der Schwärzung als dritte Koordinate des Punktes aufgefasst werden, es ergibt sich eine kompakte Fläche im dreidimensionalen Raum, auf welche wieder das Collage-Theorem angewendet werden kann. Mit systematischen Verfahren zur Konstruktion eines IFS-Fraktals mit möglichst wenigen Funktionen befasst sich die <a href="Fraktale_Bildkompression" title="Fraktale Bildkompression">Fraktale Bildkompression</a> sowie die <a href="Fraktale_Tonkompression" title="Fraktale Tonkompression">Fraktale Tonkompression</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Iterated_function_systems?uselang=de">Commons: Iterierte Funktionensysteme</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://fraktale.quadsoft.org">Informative Seite über Fraktale und IFS für Einsteiger mit zahlreichen Illustrationen</a></li>

<li>Eine Sammlung fraktaler Kunst von <a rel="nofollow" class="external text" href="http://paulbourke.net/fractals/">Paul Bourke</a></li>

<li>Farbige Erweiterungen des Chaosspiels <a rel="nofollow" class="external text" href="http://flam3.com/">fraktale Flammen</a>, unter math die Theorie dazu.</li>

<li>Zu Geschichte und Verallgemeinerungen: Cabrelli, Molter: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://citeseer.ist.psu.edu/165405.html">Generalized Self-Similarity ...</a>

<ul><li>1957 Selbstähnliche Funktionen von Bajraktarevic und de Rham untersucht</li>

<li>1981 Selbstähnliche Mengen und Kurven von Hutchinson untersucht</li>

<li>1986 definiert Barnsley fraktale Funktionen</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-hutchinson1981-1"><a href="#cite_ref-hutchinson1981_1-0">↑</a> John E. Hutchinson: <cite style="font-style:italic">Fractals and self similarity</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Indiana University Mathematics Journal</cite>. Band 30, Nr. 5, 1981 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://pdfs.semanticscholar.org/b093/7152a00ab8706387cf7fd08e424ab29de6e7.pdf">semanticscholar.org</a> [PDF; 483 kB]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Iteriertes+Funktionensystem&rft.atitle=Fractals+and+self+similarity&rft.au=John+E.+Hutchinson&rft.date=1981&rft.genre=journal&rft.issue=5&rft.jtitle=Indiana+University+Mathematics+Journal&rft.volume=30" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-barnsley1988-2"><a href="#cite_ref-barnsley1988_2-0">↑</a> Michael Barnsley: <cite style="font-style:italic">Fractals Everywhere</cite>. Academic Press, 1988, ISBN 978-0-12-079062-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Iteriertes+Funktionensystem&rft.au=Michael+Barnsley&rft.btitle=Fractals+Everywhere&rft.date=1988&rft.genre=book&rft.isbn=9780120790623&rft.pub=Academic+Press" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-peruggia1993-3"><a href="#cite_ref-peruggia1993_3-0">↑</a> Mario Peruggia: <cite style="font-style:italic">Discrete Iterated Function Systems</cite>. Taylor & Francis, CRC Press, 1993, ISBN 978-0-429-06536-1, S. ix,xi, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1201/9781439864708">10.1201/9781439864708</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Iteriertes+Funktionensystem&rft.au=Mario+Peruggia&rft.btitle=Discrete+Iterated+Function+Systems&rft.date=1993&rft.doi=10.1201%2F9781439864708&rft.genre=book&rft.isbn=9780429065361&rft.pages=ix%2Cxi&rft.pub=Taylor+%26+Francis%2C+CRC+Press" style="display:none">

</li>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4343626-2">4343626-2</a> </div>

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